早嶋です。


標準偏差。統計や確率変数のバラつきの具合を表す数値の１つで、ギリシャ文字のσやsで表されます。この文字を聞いて、或いはこの概念を聞いて急に数学がわからなくなった方、多いと思います。そもそもバラつきの概念って？

例えば、地方に電車の駅があるとしましょう。そこにはバス停も併設されています。例えば、その場所から別の場所に移動する場合、
A：バスで移動するとしたら、何分前にバス停に行きますか？
B：電車で移動するとしたら、何分前にプラットフォームに行きますか？

おそらく多くのかたがバス停には早めに、プラットフォームはギリギリに行くのではないでしょうか？これがバラつきの概念です。つまり、バスは経験値から遅れる時間の幅が電車よりも多いということを知っているのです。従って、バラつきの度合いは電車よりバスのほうが大きいということです。標準偏差はこの度合いを数字で表したものです。

標準偏差。計算式はややこしいのですが、正規分布の特性を知っておくと暗算で算出することができます。

例えば、Aのバスの場合１０分前に行くとします。そしてBの電車の場合３分前に行くとします。それぞれ時刻表は、１２：００に出発だったとします。

Aの場合は、経験値からおよそ、１１：５０から１２：１０の間に出発するという予測を立てています。
Bの場合は、同様におよそ、１１：５７から１２：０３の間に出発するという予測を立てています。

人がおよそと言った場合の確率を９５％とします。つまり１００回同じことを繰り返して９５回はその通りになる。バスや電車もおよそといった場合は、１００回中９５回は、それぞれ上の時間の間に出発するとします。

正規分布のよく使う範囲について、平均値を０、標準偏差を１とした場合、−２から２の間にほぼ９５％の確率で分布することが分かっています。つまり、平均値±２×標準偏差の範囲に９５％の確率で分布するということです。このことは、難しい式では、下のように表現されます。
P(m ≦ X ≦ m + 2σ ) = P( 0 ≦ Z ≦ 2 ) = p(2) = 0.4772
より、
P(m – 2σ ≦ X ≦ m + 2σ ) = 0.9544 ( 95.4%)

これをバス停や電車に当てはめて見ると、平均値は１２：００、つまり０分。そして、平均値から標準偏差を２つ分引いた値から、標準偏差を２つ分足した値の間に約９５％の確率で出発すると言い換えることができます。

A：バスの場合は１１：５０から１２：１０ということなので、標準偏差は１０を２で割った値、つまり５分。
B：電車の場合は１１：５７から１２：０３ということなので、標準偏差は３を２で割った値、つまり１．５分。

というように簡単に暗算出来てしまうのです。

応用してみます。例えば、１００人くらい人を集めて、暗算で１００人分の身長の平均値と標準偏差値を暗算で算出する場合を考えて見ましょう。素直に計算すると、平均値を求めるだけで一苦労です。

ここで平均身長±２×身長の標準偏差の範囲に９５％の人が分布していると過程します。これがわかれば、標準偏差は身長の一番高い人と一番低い人の差分を２で割った値という事が分かります。

例えば、１００人の中で一番高い人は１８０ｃｍ、一番低い人が１５０ｃｍだったとします。これより、１５０ｃｍから１８０ｃｍの間にほぼ９５％の確率で分布していると仮説が立ちます。平均値をｍ、標準偏差をσとした場合、以下の連立方程式になります。

ｍ−２×σ＝１５０
ｍ+２×σ＝１８０

これよりｍ＝１６５ｃｍ、σ＝７．５ｃｍですね。

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